Question

已知：△ABC為等邊三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點
（1）觀察圖中是否有全等三角形？若有，直接寫出：（    ）；（寫出一對即可）
（2）求∠BQM的度數。

Answer 1

解：（1）有全等三角形，△ABM≌△BCN，△ACM≌△BAN，
①△ABM≌△BCN，證明如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵在△ABM與△BCN中，，
∴△ABM≌△BCN（SAS）
②△ACM≌△BAN，證明如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠ACB，
即∠BAN=∠ACM，
∵BM=CN，
∴BM﹣BC=CN﹣AC，
即CM=AN，
∵在△ACM與△BAN中，，
∴△ACM≌△BAN（SAS）；
（2）根據（1）可得△ABM≌△BCN，
∴∠M=∠N，
根據三角形的外角性質，∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∠BQM=∠N+∠NAQ，
又∵∠CAM=∠NAQ（對頂角相等），
∴∠BQM=∠ACB=60°。