Question

直線y=k₁x+b與雙曲線y=

k2

x

只有一個交點A（1，2），且與x軸、y軸分別交于B、C兩點，AD垂直平分OB，垂足為D，求：
（1）直線、雙曲線的解析式；
（2）線段BC的長；
（3）三角形BOC的內心到三邊的距離．

Answer 1

分析：（1）首先根據待定系數法確定雙曲線的解析式，然后根據直線，雙曲線只有一個交點，利用一元二次方程的判別式可以確定直線的解析式；
（2）根據（1）的結論可以確定OB，OC的長，再利用勾股定理可以確定BC的長；
（3）根據（2）結合內切圓的知識可以得內心到三邊的距離．

解答：解：（1）把A（1，2）代入y=

k2

x

得k₂=2，代入y=k₁x+b得2=k₁+b，
直線y=k₁x+b與雙曲線y=

k2

x

只有一個交點A，
∴y=

2

x

=k₁x+b，
∴k₁x²+bx-2=0
∴根的判別式△=b²-4k₁×（-2）=△b²-4acb²+8k₁=0，
∴b=4，k₁=-2，
∴y=-2x+4，y=

2

x

；

（2）當x=0時，y=4，當y=0時，x=2，
∴B（2，0），C（0，4），
∴BC=2

5

；

（3）如圖，∵OB=2，OC=4，BC=2

5

，
∴根據切線長定理得到Rt△OBC的內心P到三邊的距離r=

1

2

（OB+OC-BC）=3-

5

．

點評：此題既考查了利用待定系數法確定直線，雙曲線的解析式，也考查了利用它們的圖象和性質解決幾何問題．