Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，點M，點N同時從點A出發，點M沿邊AB以4cm/s的速度向點B運動，點N從點A出發，沿邊AC以3cm/s的速度向點C運動，（點M不與A，B重合，點N不與A，C重合），設運動時間為xs．
（1）求證：△AMN∽△ABC；
（2）當x為何值時，以MN為直徑的⊙O與直線BC相切？
（3）把△AMN沿直線MN折疊得到△MNP，若△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）欲證△AMN∽△ABC，可以通過應用兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似，（AM：AN=AB：AC=4：3，∠A=∠A）得出；
（2）MN為直徑的⊙O與直線BC相切，則圓心O到直線BC的距離等于半徑，列出函數關系式，求出x的值；
（3）因為∠A=90°，△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積分為兩種情況：等于S_△PMN，或等于S_△MNP-S_△PEF，列出y關于x的函數表達式，求出當x=

4

3

時，y值最大，最大值是8．

解答：（1）證明：∵

AM

AB

=

AN

AC

，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC．（4分）

（2）解：在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=10．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴

MN

BC

=

AM

AB

=

4x

8

∴MN=5x，
∴⊙O的半徑r=

5

2

x
可求得圓心O到直線BC的距離d=

48

10

-

12x

5

∵⊙O與直線BC相切
∴

48

10

-

12x

5

=

5

2

x．解得x=

48

49

當x=

48

49

時，⊙O與直線BC相切．（8分）

（3）解：當P點落在直線BC上時，則點M為AB的中點．（9分）
故以下分兩種情況討論：
①當0＜x≤1時，y=S_△PMN=6x²，
∴當x=1時，y_最大=6×1²=6．（11分）
②當1＜x＜2時，設MP交BC于E，NP交BC于F
MB=8-4x，MP=MA=4x
∴PE=4x-（8-4x）=8x-8
y=S_△MNP-S_△PEF=6x2-6x2(

8x-8

4x

)2=-18(x-

4

3

)2+8（13分）
∴當x=

4

3

時，y_最大=8．
綜上所述，當x=

4

3

時，y值最大，最大值是8．（14分）

點評：考查了相似三角形的判斷，結合切線的性質，及三角形的性質考查二次函數的綜合應用．