Question

已知M是平行四邊形ABCD的邊CD的中點，N為AB邊上一點，且AN=3NB，連AM、MN分別交BD于E、F（如圖①）
（1）在圖②中畫出滿足上述條件的圖形，試用刻度尺在圖①、②中量得DE、EF、FB的長度，并填入下表，由下表可猜想DE、EF、FB間的大小關系是_____；

（2）上述（1）中的猜想DE、EF、FB間的關系成立嗎？為什么？
（3）若將平行四邊形ABCD改成梯形（其中AB∥CD），且AB=2CD，其它條件不變，此時（1）中猜想DE、EF、FB的關系是否成立？若成立，說明理由；若不成立，求出DE∶EF∶FB的值。

Answer 1

解：（1）畫圖“略”；填表“略”；猜想：DE=EF=FB；　　　 （2）成立； 理由：∵AB∥CD， ∴△ABE∽△MED， ∴BE∶DE=AB∶DM=2∶1， 即BE=2DE， 又∵AB=DC=4NB， ∴DN=2NB， ∵AB∥DC， ∴△DMF∽△BNF， ∴DF∶FB=DN∶NB=2∶1即DF=2FB， ∴DE=EF=FB； （3）不成立； ∵AB=2CD，CD=2DM， ∴AB=4DM， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△MDE， ∴BE∶DE= AB∶DM=4∶1即BE=4DE， ∵AB=4NB， ∴NB=DM， ∵AB∥CD， ∴△BNF∽△DMF， ∴DF∶FB=DM∶NB=1即DF=FB， 則DE∶EF∶FB=2∶3∶5。