Question

【題目】已知：直線l1與直線l2平行，且它們之間的距離為3，A，B是直線l1上的兩個定點，C，D是直線l2上的兩個動點（點C在點D的左側），AB=CD=6，連接AC、BD、BC，將△ABC沿BC折疊得到△A1BC．（如圖1）

（1）當A1與D重合時（如圖2），四邊形ABDC是什么特殊四邊形，為什么？

（2）當A1與D不重合時，連接A1D，則A1 D∥BC（不需證明），此時若以A1，B，C，D為頂點的四邊形為矩形，且矩形的邊長分別為a，b，求（a+b）2的值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABDC是菱形，證明見解析；（2）（a+b）2的值為72或81．

【解析】（1）根據折疊的性質得到AC=CD，然后根據菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；

（2）討論：當∠CBD=90°，則∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=6，則S矩形A1CBD=12，即ab=12，由BA1=BA=6，根據勾股定理得到a2+b2=36，然后根據完全平方公式進行計算；當∠BCD=90°，則∠CBA=90°，易得BC=3，而CD=6，所以（a+b）2=（3+6）2．．

（1）四邊形ABDC是菱形；

∵AB=CD，AB∥CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵A1與D重合時，

∴AC=CD，

∴四邊形ABDC是菱形；

（2）當以A1，B，C，D為頂點的四邊形為矩形如圖1時，連結A1B，S△A1CB=S△ABC=×6×3＝9

∴S矩形A1CBD=18，即ab=18，而在Rt△BCD中，

∴a2+b2=CD2=36

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=36+36=72，

當以A1，B，C，D為頂點的四邊形為矩形如圖2時，

∴（a+b）2=（3+6）2=81，

∴（a+b）2的值為72或81．