Question

如圖，⊙O的直徑AB為4，C為弧AB的中點，E為OB上一點，∠AEC=60°，CE的延長線交⊙O于D，則CD的長為（ ）

A．
B．3
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OC、OD，過點O作OF⊥CD于點F．由等弧所對的圓心角相等知∠AOC=∠BOC=90°；根據垂徑定理推知CF=DF=CD；然后根據直角三角形的特殊角的三角函數值求得CD=2CF=OC•cos30°．
解答：解：連接OC、OD，過點O作OF⊥CD于點F．
∵AB是⊙O的直徑，C為弧AB的中點，
∴∠AOC=∠BOC=90°（等弧所對的圓心角相等）；
又∵O是圓心，OF⊥CD，
∴CF=DF=CD（垂徑定理）；
在Rt△OEC中，∠AEC=60°，
∴∠OCE=30°（直角三角形的兩個銳角互余）；
∴在Rt△OCF中，CF=OC•cos30°；
又AB=4，
∴OC=2；
∴CD=2；
故選A．
點評：本題主要考查了垂徑定理、解直角三角形．對于一個圓和一條直線，若直線1．平分優弧；2．平分劣弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．經過圓心（或者說直徑）；在5個條件中，只要具備任意兩個條件，就可以推出其他的三個結論．