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如圖,⊙O的直徑AB為4,C為弧AB的中點,E為OB上一點,∠AEC=60°,CE的延長線交⊙O于D,則CD的長為( )

A.
B.3
C.
D.
【答案】分析:連接OC、OD,過點O作OF⊥CD于點F.由等弧所對的圓心角相等知∠AOC=∠BOC=90°;根據垂徑定理推知CF=DF=CD;然后根據直角三角形的特殊角的三角函數值求得CD=2CF=OC•cos30°.
解答:解:連接OC、OD,過點O作OF⊥CD于點F.
∵AB是⊙O的直徑,C為弧AB的中點,
∴∠AOC=∠BOC=90°(等弧所對的圓心角相等);
又∵O是圓心,OF⊥CD,
∴CF=DF=CD(垂徑定理);
在Rt△OEC中,∠AEC=60°,
∴∠OCE=30°(直角三角形的兩個銳角互余);
∴在Rt△OCF中,CF=OC•cos30°;
又AB=4,
∴OC=2;
∴CD=2
故選A.
點評:本題主要考查了垂徑定理、解直角三角形.對于一個圓和一條直線,若直線1.平分優弧;2.平分劣弧;3.平分弦;4.垂直于弦;5.經過圓心(或者說直徑);在5個條件中,只要具備任意兩個條件,就可以推出其他的三個結論.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網已知:如圖,⊙O的直徑AB與弦CD相交于E,
BC
=
BD
,⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F.
(1)求證:CD∥BF.
(2)連接BC,若⊙O的半徑為4,cos∠BCD=
3
4
,求線段AD、CD的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,⊙O的直徑AB與弦CD(不是直徑)相交于E,E是CD的中點,過點B作BF∥CD交AD的延長線于
點F.
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)連接BC,若⊙O的半徑為5,∠BCD=38°,求線段BF、BC的長.(精確到0.1)

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,⊙O的直徑AB,CD互相垂直,P為  上任意一點,連PC,PA,PD,PB,下列結論:
①∠APC=∠DPE;
 ②∠AED=∠DFA;
CP+DP
BP+AP
=
AP
DP
.其中正確的個數是(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•柳州)如圖,⊙O的直徑AB=6,AD、BC是⊙O的兩條切線,AD=2,BC=
92

(1)求OD、OC的長;
(2)求證:△DOC∽△OBC;
(3)求證:CD是⊙O切線.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,⊙O的直徑AB垂直弦CD于P,且P是半徑OB的中點,CD=6cm,則直徑AB的長是
4
3
cm
4
3
cm

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