Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，AD=6cm，∠A=60°．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AB向終點B運動；點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿CD向終點D運動（P，Q兩點中，有一點運動到了終點，所有運動即終止），設P、Q同時出發并運動了t秒．
①當PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時，求t的值；
②試問是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）作梯形的高DE、CF，根據直角三角形的性質和勾股定理，可得出DE、CD的長，根據梯形的面積公式，求出即可；
（2）①由題意得，PQ為梯形的高，則AE=AP-PE=3t-2，根據含有特殊角的直角三角形的性質，解答出即可；
②由題意，上底CQ=t，下底PB=8-2t，根據等量關系，解出t的值，根據t的取值范圍，看t是否存在即可；

解答：解：（1）作梯形的高DE、CF，根據題意得，
∴AE=BF=3，DE=CF=3

3

，CD=EF=2，
∴梯形的面積S=

1

2

(AB+CD)×DE=15

3

；

（2）①若PQ分成兩個直角梯形，那么PQ為梯形的高；
設CQ=t，AP=2t，DE為梯形的高，
∴AE=AP-PE=2t-（2-t）=3t-2，
在Rt△ADP中，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴2AE=6，
即，2（3t-2）=6，
解得：t=

5

3

；
（[另解]：62=(3

3

)2+(2t-2+t)2，得：t=

5

3

）
②若Q在CD上運動，此時，t≤2；
設t秒后四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，
∴2×

1

2

(t+8-2t)×3

3

=15

3

，
解得，t=3，
這與t≤2矛盾，不合題意，舍去；
所以，不存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．

點評：本題主要考查了直角梯形和直角三角形的性質，考查了學生的綜合運用能力和空間想象能力．