Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的對稱軸是直線x=2．

（1）求出該拋物線的解析式．
（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點(diǎn)O和C．現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：
①將三角板從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時停止旋轉(zhuǎn)．請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出的值．
②設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）①的值不變。理由見解析
②存在。理由見解析

分析：（1）根據(jù)拋物線過原點(diǎn)和對稱軸為直線x=2這兩個條件確定拋物線的解析式。
（2）①如答圖1所述，證明Rt△PAE∽Rt△PGF，則有，的值是定值，不變化。
②若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，避免漏解。
解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴n=0。
∵拋物線對稱軸為直線x=2，∴，解得。
∴拋物線的解析式為：。
（2）①的值不變。理由如下：
如答圖1所示，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF。．
在Rt△PAE與Rt△PGF中，
∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，
∴Rt△PAE∽Rt△PGF。
∴。．
②存在。
拋物線的解析式為：，
令y=0，即，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）。
又，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣1）。
若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：
（ⅰ）FM=FD，如答圖2所示，

過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則MN=1，ND=2，。
設(shè)FM=FD=x，則NF=ND﹣FD=2﹣x．
在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF²+MN²=MF²，
即：，解得：。
∴FD=，OF=OD﹣FD。
∴F（，0）。
（ⅱ）若FD=DM．如答圖3所示，

此時FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=。
∴F（，0）。
（ⅲ）若FM=MD，
由拋物線對稱性可知，此時點(diǎn)F與原點(diǎn)O重合，而由題意可知，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合后即停止運(yùn)動，故點(diǎn)F不可能運(yùn)動到原點(diǎn)O。
∴此種情形不存在。
綜上所述，存在點(diǎn)F（，0）或F（，0），使△DMF為等腰三角形。