Question

將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A、C及點B（-3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，設點P的橫坐標為x，試用含x的代數式表示△APE的面積S；
（3）在（2）的條件下，點G為第一象限內的該拋物線上的一個動點，對于S的一個確定的值，始終存在點G，滿足△AGC的面積與（2）中△APE的面積相等，求符合題意的點G的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意得，A（0，6），C（6，0），B（-3，0），
解：設拋物線解析式為：y=a（x+3）（x-6），
解得：a=-，
∴y=-（x+3）（x-6），
=-x²+x+6，

（2）如圖，∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴，
，
∴S_△PCE=，
∴S=S_△APC-S_△PCE=-x²+x+6，
=-（x-）²+，
（當x=時，S有最大值為）；
故S的取值范圍是：0＜S≤，（-3＜x＜6）；
（3）設G（x，-x²+x+6）
過G作GH∥y軸交直線AC于點H，
易得直線AC：y=-x+6，
∴H（x，-x+6）
∴GH=-x²+x+6-（-x+6）=-x²+2x，
∴S_△AGC=GH•CO=-x²+6x=-（x-3）²+9，
故S△AGC的取值范圍是：0＜S_△AGC≤9，（0＜x＜6）；
當S_△AGC=時，-x²+6x=，
解得：x₁=，x₂=，
∴點G的橫坐標x的取值范圍是0＜x≤或≤x＜6時．
分析：（1）根據C（6，0），B（-3，0），運用交點式求出二次函數解析式；
（2）利用相似三角形的性質得出S_△PCE=，進而求出△APE的面積S；
（3）表示出S_△AGC=GH•CO=-x²+6x，進而求出x的取值范圍．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合題目，利用交點式求二次函數解析式以及相似三角形的性質是考查的重點內容，同學們應學會應用．