Question

將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A、C及點B（-3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當△APE的面積最大時，求點P的坐標；
（3）在第一象限內的該拋物線上是否存在點G，使△AGC的面積與（2）中△APE的最大面積相等？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知OA、OC的長，可得A、C的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）設出點P的橫坐標，表示出CP的長，由于PE∥AB，可利用相似三角形△CPE∽△CBA，求出△APE的面積表達式，進而可將面積問題轉換為二次函數的最值問題，根據函數的性質即可得到△APE的最大面積及對應的P點坐標．
（3）由于△AGC的面積無法直接求出，可用割補法求解，過G作GH⊥x軸于H，設出G點坐標，表示出△HGC、梯形AOHG的面積，它們的面積和減去△AOC的面積即可得到△AGC的面積表達式，然后將（2）題所得△APE的面積最大值代入上式中，聯立拋物線的解析式即可得到點G的坐標．

解答：解：（1）如圖，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點A（0，6），
∴c=6．（1分）
∵拋物線的圖象又經過點（-3，0）和（6，0），
∴

0=9a-3b+6 0=36a+6b+6

，（1分）
解之得

a=- 1 3 b=1

，（1分）
故此拋物線的解析式為：y=-

1

3

x²+x+6．（1分）

（2）設點P的坐標為（m，0），
則PC=6-m，S_△ABC=

1

2

BC•AO=

1

2

×9×6=27；（1分）
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB；（1分）
∴

S△CEP

S△CAB

=(

PC

BC

)2，
即

S△CEP

27

=（

6-m

9

）²，
∴S_△CEP=

1

3

（6-m）²，（1分）
∵S_△APC=

1

2

PC•AO=

1

2

（6-m）×6=3（6-m），
∴S_△APE=S_△APC-S_△CEP=3（6-m）-

1

3

（6-m）²=-

1

3

（m-

3

2

）²+

27

4

；
當m=

3

2

時，S_△APE有最大面積為

27

4

；
此時，點P的坐標為（

3

2

，0）．（1分）

（3）如圖，過G作GH⊥BC于點H，設點G的坐標為G（a，b），（1分）
連接AG、GC，
∵S_梯形AOHG=

1

2

a（b+6），
S_△CHG=

1

2

（6-a）b，
∴S_{四邊形AOCG}=

1

2

a（b+6）+

1

2

（6-a）b=3（a+b）．（1分）
∵S_△AGC=S_{四邊形AOCG}-S_△AOC，
∴

27

4

=3（a+b）-18，（1分）
∵點G（a，b）在拋物線y=-

1

3

x²+x+6的圖象上，
∴b=-

1

3

a²+a+6，
∴

27

4

=3（a-

1

3

a²+a+6）-18，
化簡，得4a²-24a+27=0，
解之得a₁=

3

2

，a₂=

9

2

；
故點G的坐標為（

3

2

，

27

4

）或（

9

2

，

15

4

）．（1分）

點評：此題涉及到二次函數解析式的確定、圖形面積的求法等知識，注意面積問題與二次函數最值問題之間的聯系．