Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只需證明∠ABF=90°；
（2）連接DO，EO．利用圓心角、弧、弦間的關系推知△AOD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質知，在直角△ABF中，∠OAD=60°，AB=2AD=10，所以通過解該三角形即可求得線段BF的長度．
解答：（1）證明：∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF．
又∵AC=CF，
∴CB=AF，
∴△ABF是直角三角形．
∴∠ABF=90°，
∴直線BF是⊙O的切線；

（2）解：連接DO，EO．
∵點D，點E分別是弧AB的三等分點，
∴∠AOD=60°．
又∵OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形，∠OAD=60°，OA=AD=5．  
又∵∠ABF=90°，AB=2OA=10，
∴BF=10．
點評：本題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質等．解題時，充分利用了圓心角、弧、弦間的關系．