Question

設自然數N是完全平方數，N至少是3位數，它的末2位數字不是00，且去掉此2位數字后，剩下的數還是完全平方數，則N的最大值是______．

Answer 1

設N=x²（x為自然數），N的末兩位數字組成整數y，去掉此兩位數字后得到整數m，m=k²（k為自然數），則1≤y≤99，x²=100k²+y，y=x²-100k²=（x+10k）（x-10k）．
令x+10k=a，x-10k=b，則b≥1，k≥1，x=10k+b≥11，a=x+10k≥21．
若k≥4，則x=10k+b≥41，a=x+10k≥81，
唯有b=1，k=4，x=41，a=81，y=81，m=16，N=1681．
顯然當k≤3時，x≤40．
故N=1681為所求最大值．