Question

9、設(shè)自然數(shù)N是完全平方數(shù)，N至少是3位數(shù)，它的末2位數(shù)字不是00，且去掉此2位數(shù)字后，剩下的數(shù)還是完全平方數(shù)，則N的最大值是

1681

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)N=x²（x為自然數(shù)），去掉此兩位數(shù)字后得到整數(shù)m，m=k²（k為自然數(shù)），然后根據(jù)其中關(guān)系求解N．

解答：解：設(shè)N=x²（x為自然數(shù)），N的末兩位數(shù)字組成整數(shù)y，去掉此兩位數(shù)字后得到整數(shù)m，m=k²（k為自然數(shù)），則1≤y≤99，x²=100k²+y，y=x²-100k²=（x+10k）（x-10k）．
令x+10k=a，x-10k=b，則b≥1，k≥1，x=10k+b≥11，a=x+10k≥21．
若k≥4，則x=10k+b≥41，a=x+10m≥81，
唯有b=1，k=4，x=41，a=81，y=81，m=16，N=1681．
顯然當(dāng)k≤3時(shí)，x≤40．
故N=1681為所求最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用．做此題時(shí)要合理設(shè)未知數(shù)，然后根據(jù)題意求解結(jié)果．