Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C.D為圓上兩點，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于點F，CE⊥AD的延長線于點E．

 （1）試說明：DE＝BF；

 （2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）由弧CB=弧CD可得CB=CD，∠CAB=∠CAE，再結合CF⊥AB，CE⊥AD可得△CED≌△CFB，根據全等三角形的性質即得結論；

（2）由AB是直徑可得∠ACB=90°，由∠DAB=60°，AB=6，解直角三角形ACB可以求出AC，BC，接著求出CF，BF，再證的△CAE≌△CAF，即可求出△ACD的面積．

（1）∵ 弧CB=弧CD 

∴CB=CD，∠CAB=∠CAE

又∵CF⊥AB，CE⊥AD  

∴CE=CF                   

∴直角△CED≌直角△CFB  

∴DE=BF；

（2）∵∠DAB=60°，

∴∠CAB=∠CAE=30°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，CB=AB=3，    

∵∠BCF+∠ABC=90°，∠CAB+∠ABC=90°，

∴∠BCF=∠CAB=30°，

∴FB=CB=，，

RtΔCFB的面積，

由第1問可知，DE=BF，CE=CF，

則RtΔCED的面積=RtΔCFB的面積，AF=AB-FB=，

由第1問可知，AE=AF=，CE=CF，

∴

考點：本題考查的是圓周角定理，全等三角形的判定和性質

點評：本題把角平分線，全等三角形放在圓的背景中，利用圓的有關性質和角平分線的性質來證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質解決問題．