Question

23、如圖，在△ABC中，AD交邊BC于點D，∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，DC=2BD．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求證：∠CAD=∠B．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可求得∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠B的度數(shù)．
（2）過C作CE⊥AD于E，連接EB，根據(jù)直角三角形中30度所對的邊是斜邊的一半及已知可推出BD=ED，從而可得到∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°，從而可求得∠EBA=∠BAD，根據(jù)等角對等邊可得AE=EC=EB，再利用等邊對等角的性質(zhì)即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=60°-15°=45°；

證明：（2）過C作CE⊥AD于E，連接EB．
∵∠ECD=90°-60°=30°
∴DC=2ED，
∵DC=2BD，
∴ED=BD，
∴∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°，
∴∠EBA=45°-30°=15°=∠BAD，
∴AE=EC=EB，
∴∠CAD=∠B=45°．

點評：此題主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的綜合運用．