Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是線段BC上的一個動點（不與點B重合）．DE⊥BE于E，∠EBA=

1

2

∠ACB，DE與AB相交于點F．
（1）當點D與點C重合時（如圖1），探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明；
（2）當點D與點C不重合時（如圖2），試判斷（1）中的猜想是否仍然成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長CA、BE相交于G，求出CG=BC，BE=EG，證△ABG≌△ACF，推出BG=CF即可；
（2）過D作DH∥CA交BA于M，交BE的延長線于H，求出DB=DH，推出∠HBM=∠FDM，根據ASA證△HMA≌△FMD，推出BH=DF即可．

解答：
（1）猜想BE=

1

2

FD，
證明：如圖，延長CA、BE相交于G，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠EBA=

1

2

∠ACB，
∴∠EBA=22.5°，
∴∠GBC=67.5°，
∴∠G=67.5°，
∴∠G=∠GBC，
∴CG=BC，
∵CE⊥BE，
∴∠ACE=

1

2

∠ACB，BE=

1

2

BG，
∴∠ACE=∠EBA．
在△ABG和△ACF中

∠GAB=∠FAC AB=AC ∠ABG=∠ACF

，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG=CF
∴BE=

1

2

FC，
即BE=

1

2

FD．

（2）解：成立，
理由是：過D作DH∥CA交BA于M，交BE的延長線于H，
則∠BMD=∠A=90°，∠MDB=∠C=45°，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∴MB=MD，
∵∠EBA=

1

2

∠ACB，
∴∠EBA=

1

2

∠MDB=22.5°，
∴∠HBD=∠H=67.5°，
∴DB=DH，
∵DE⊥BE，
∴∠HDE=

1

2

∠HDB，BE=

1

2

BH，
∴∠HBM=∠FDM，
在△HMA和△FMD中

∠BMH=∠DMF MB=MD ∠HBM=∠FDM

∴△HMA≌△FMD（ASA）
∴BH=DF，
∴BE=

1

2

FD．

點評：本題考查了等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的綜合運用．