Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC垂足為點D，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC，垂足為點E．則以下4個結論：①AB=AC；②∠EBC= ；③AE=CE；④∠EBC= 中正確的有（ ）

A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵AD⊥BC垂足為點D，AD是BC邊上的中線，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴①正確；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠EBC= ∠BAC，∴②正確；
∵AE2=AB2﹣BE2 ， CE2=BC2﹣BE2 ， AB≠BC，
∴AE≠CE，∴③錯誤；
∵∠BAC≠∠ABC，∠EBC= ∠BAC，
∴∠EBC≠ ∠ABC，∴④錯誤；
∴①②都正確；
故答案為：A．
由題知AD垂直平分BC，根據垂直平分線上的點到角兩邊的距離相等得出AB=AC ；根據等腰三角形的三線合一得出∠BAD=∠CAD= ∠BAC，然后又根據同角的余角相等得出∠EBC=∠DAC，通過等量代換得出∠EBC= ∠BAC ；根據勾股定理得出AE2=AB2﹣BE2 ， CE2=BC2﹣BE2 ， 又AB≠BC，從而得出AE≠CE ；根據∠BAC≠∠ABC，∠EBC= ∠BAC，從而得出∠EBC≠ ∠ABC 。