Question

已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．
（1）如圖1，若∠COF=14°，則∠BOE= _________ ；若∠COF=n°，則∠BOE= _________ ，∠BOE與∠COF的數量關系為 _________ ；
（2）當射線OE繞點O逆時針旋轉到如圖2的位置時，（1）中∠BOE與∠COF的數量關系是否仍然成立？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，如圖3，在∠BOE的內部是否存在一條射線OD，使得∠BOD為直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，請求出∠COF的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，
∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE，
而∠AOB=160°，∠COE=80°，
∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，
∴∠BOE=2∠COF，
當∠COF=14°時，∠BOE=28°；
當∠COF=n°時，∠BOE=2n°，
故答案為28°；2n°；
∠BOE=2∠COF．
（2）∠BOE=2∠COF仍然成立．
理由如下：∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，
∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE，
而∠AOB=160°，∠COE=80°，
∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，
∴∠BOE=2∠COF；
（3）存在．設∠AOF=∠EOF=2x，
∵∠DOF=3∠DOE，
∴∠DOE=x，而∠BOD為直角，
∴2x+2x+x+90°=160°，
解得x=14°，
∴∠BOE=90°+x=104°，
∴∠COF=×104 °=52 °（滿足∠COF+∠FOE=∠COE=80 °）．