Question

【題目】已知拋物y=ax2+bx+c(b<0)與軸只有一個公共點.

(1)若公共點坐標為(2，0)，求a、c滿足的關系式；

(2)設A為拋物線上的一定點，直線l：y=kx+1－k與拋物線交于點B、C兩點，直線BD垂直于直線y=－1,垂足為點D.當k＝0時，直線l與拋物線的一個交點在y軸上，且△ABC為等腰直角三角形.

①求點A的坐標和拋物線的解析式；

②證明：對于每個給定的實數k，都有A、D、C三點共線.

Answer 1

【答案】(1) y=a(x－2)2, c=4a;(2) ①頂點A(1,0)，y= x2－2x+1,②見解析.

【解析】

（1）根據拋物線與x軸的公共點坐標即為函數頂點坐標，即可求解；

（2）①y＝kx＋1k＝k（x1）＋1過定點（1，1），且當k＝0時，直線l變為y＝1平行x軸，與軸的交點為（0，1），即可求解；②計算直線AD表達式中的k值、直線AC表達式中的k值，兩個k值相等即可求解．

解：（1）拋物線與x軸的公共點坐標即為函數頂點坐標，故：y＝a（x2）2，則c＝4a；

(2) y=kx+1－k= k(x－1)+1過定點(1,1),

且當k＝0時，直線l變為y=1平行x軸,與y軸的交點為(0,1)

又△ABC為等腰直角三角形，∴點A為拋物線的頂點

①c=1，頂點A(1,0)

拋物線的解析式: y= x2－2x+1.

②

x2－(2+k)x+k＝0,

x＝(2+k±)

xD＝xB＝(2+k－), yD=－1；

則D

yC＝(2+k2+k,

C，A(1,0)

∴直線AD表達式中的k值為：k AD==，

直線AC表達式中的k值為：k AC=

∴k AD= k AC, 點A、C、D三點共線.