Question

如圖1，二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．

（1）求這個二次函數的表達式．
（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，求點E的坐標．
（3）平行于x軸的直線與拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求圓的半徑．
（4）如圖2，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積．

Answer 1

分析：（1）求二次函數的表達式，需要求出A、B、C三點坐標．已知B點坐標，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=

1

3

，則點A坐標為（-1，0）．將A，B，C三點坐標代入關系式，可求得二次函數的表達式．
（2）已知拋物線關系式，先求出頂點D坐標，再求出直線CD的解析式，E是直線與x軸交點，可得E點坐標．
（3）分情況討論，當圓在x軸上方時，根據題意可知，圓心必定在拋物線的對稱軸上，設圓半徑為r，則N的坐標為（r+1，r），將其代入拋物線解析式，可求出r的值．當圓在x軸的下方時，方法同上，只是N的坐標變為（r+1，-r），代入拋物線解析式即可求解．
（4）G在拋物線上，代入解析式求出G點坐標，設點P的坐標為（x，y），即（x，x²-2x-3）已知點A、G坐標，可求出線段AG的長度，以及直線AG的解析式，再根據點到直線的距離求出P到直線的距離，即為三角形AGP的高，從而用x表示出三角形的面積，然后求當面積最大時x的值．

解答：解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
將A、B、C三點的坐標代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

．
所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3．    

（2）存在，F點的坐標為（2，-3）
易得D（1，-4），所以直線CD的解析式為：y=-x-3，
故E點的坐標為（-3，0）．

（3）如圖，①當直線MN在x軸上方時，設圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達式y=x²-2x-3，解得R=

1+ 17

2

②當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r＞0），
則N（r+1，-r），
代入拋物線的表達式y=x²-2x-3，解得r=

-1+ 17

2

．
故圓的半徑為

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．   

（4）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1．
設P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2．
S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=

1

2

（-x²+x+2）×3          
當x=

1

2

時，△APG的面積最大
此時P點的坐標為（

1

2

，-

15

4

），S_△APG的最大值為

27

8

．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，點與函數的關系，三角函數的性質以及圓的切線的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想，方程思想與分類討論思想的應用．