Question

【題目】邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點D是邊OA的中點，連接CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC．以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點．點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，當以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形時點N的坐標為___________．

Answer 1

【答案】（2，）或（0，2）或（2，1）

【解析】

分三種情況討論：N在拋物線頂點處；N在拋物線對稱軸左側；N在拋物線對稱軸右側．

解：∵AB為拋物線的對稱軸，

∴設拋物線的解析式為，

∵正方形OABC邊長為2

∴h=2，

∵經過C（0，2）和E兩點，

過點E作EF⊥x軸于點F，如圖1，

∵DE⊥DC，
∴∠CDO+∠EDF=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EDF，
在△COD和△DFE中

∴△COD≌△DFE（AAS），
∴OD=EF，DF=CO，
∵CO=OA=2，D為OA中點，
∴EF=OD=DA=1，DF=OC=2，
∴E（3，1）；

∴C（0，2）和E（3，1）兩點代入，

得： ，解得：

∴拋物線的解析式為，

∴點N為拋物線上一動點，當以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形時點N的坐標可以分三種情況討論：

（1） N在拋物線頂點處時，如圖2所示，

此時，N點就是拋物線的頂點（2，）；

（2）當N在拋物線對稱軸左側時，

過點C作CM∥DE交拋物線對稱軸于點M，連接ME，如圖3，

∵CM∥DE，DE⊥CD，
∴CM⊥CD，
∵OC⊥CB，
∴∠OCD=∠BCM，
在△OCD和△BCM中

∴△OCD≌△BCM（ASA），
∴CM=CD=DE，BM=OD=1，
∴CDEM是平行四邊形，
即N點與C占重合，

∴N（0，2），

（3）N在拋物線對稱軸右側時，

N點在拋物線對稱軸右側，MN∥DE，如圖4，

作NG⊥BA于點，延長DM交BN于點H，
∵MNED是平行四邊形，
∴∠MDE=MNE，∠ENH=∠DHB，
∵BN∥DF，
∴∠ADH=∠DHB=∠ENH，
∴∠MNB=∠EDF，
在△BMN和△FED中

∴△BMN≌△FED（AAS），
∴BM=EF=1，
BN=DF=2，
∴M（2，1），

綜上所述，點N的坐標為：（2，）或（0，2）或（2，1）