Question

【題目】兩個等腰直角三角形如圖放置，∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm，AC=AD，垂直于CD的直線a從點C出發，以每秒cm的速度沿CD方向勻速平移，與CD交于點E，與折線BAD交于點F；與此同時，點G從點D出發，以每秒1cm的速度沿著DA的方向運動；當點G落在直線a上，點G與直線a同時停止運動；設運動時間為t秒（t>0）.

（1）填空：CD=_______cm;

（2）連接EG、FG，設△EFG的面積為y，求y與t之間的函數關系式，并寫出相應t的取值范圍；

（3）是否存在某一時刻t（0<t<2）,作∠ADC的平分線DM交EF于點M，是否存在點M是EF的中點？若存在，求此時的t值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）4 ；（2）①當時，；②當時，；（3）3- .

【解析】分析：

（1）由∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm，可得AC=4，結合AC=AD可得CD=；

（2）由題意可知，當直線a過點A時，t=2，當直線a過點G時，t=；因此需分0<t≤2和2<t<（當t=時，運動停止了）兩段分別進行討論，畫出對應的圖形如下圖1和圖2，作出如圖所示的輔助線，結合已知條件分析、計算即可得到對應的y與t的函數關系式；

（3）如圖3，當DM平分∠ADC時，延長DM交AB的延長線于點Q，過點D作DN⊥AB，并交BA的延長線于點N，由已知條件易得AQ=AD，AN=DN，由此即可求得QN的長，結合EM=EF=DN、EF∥DN可得DF=EN=，再由CF=CD-DF即可求得CF的長，由此即可求得對應的t的值.

詳解：

（1）∵在△ABC中，AB=CB=，∠ABC=90°，

∴AC=，

又∵在△ACD中，AC=AD，∠CAD=90°，

∴CD=；

（2）由題意可得，當t=2時，直線a過點A；點G在水平方向上的移動速度為cm/秒，由此可得當t=時，直線a過點G；由此可分以下兩種情況討論y與t間的函數關系：

①如圖1，當時，過點G作GM⊥CD于點M，GH⊥EF于點H，由題意可得EF=BC=，CE=，MD=GD=，GH=ME，

∴GH=CD-CE-MD=，

∴y=S△EFG=EF·GH=（），

即：當時，；

②如圖2，當時，過點G作GN⊥CD于點N，由題意可得EF=DF=CD-CF=，GN=DN=DG=，

∴FN=CD-CF-DN=，

∴y=S△EFG=EF·FN=，

化簡整理得：當時，；

綜上所述，y與t間的函數關系式為：①當時，；②當時，；

（3）存在符合要求的點M，如圖3，當DM平分∠ADC時，延長DM交AB的延長線于點Q，過點D作DN⊥AB，并交BA的延長線于點N，

∵∠B=∠CAD=90°，AB=BC，AC=AD，

∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=45°，

∴∠BCD=90°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴AB∥CD，

∴∠Q=∠CDQ，∠DAN=∠ADC=45°，

∵DM平分∠ADC，DN⊥AB于點N，

∴∠ADQ=∠CDQ=∠Q，∠DAN=∠ADN=45°，

∴AQ=AD=4，AN=DN=AD=，

∴QN=AQ+AN=，

由題意可知EF⊥AB，又∵AB∥CD，DN⊥AB，

∴可得四邊形EFDN是矩形，

∴EF=DN，EN=DF，

∵M為EF的中點，

∴EM=EF =DN，

∵DF∥DN，

∴△QEM∽△QNB，

∴QE：QN=EM：DN=1：2，

∴QE=QN=，

∴DF=EN=QN-QE=，

∴CF=CD-DF=，

∴.