Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm. 點P從點A出發，沿AB邊以2 cm/s的速度向點B勻速移動；點Q從點B出發，沿BC邊以1 cm/s的速度向點C勻速移動， 當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動，設運動的時間為t(s).

（1）當PQ∥AC時，求t的值；

（2）當t為何值時，△PBQ的面積等于cm 2.

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）當t為2s或3s時，△PBQ的面積等于cm 2.

【解析】

（1）根據PQ∥AC得到△PBQ∽△ABC，列出比例式即可求解；

（2）解法一：過點Q作QE⊥AB于E，利用△BQE∽△BCA，得到，得到QE=t，根據S△PBQ =BP·QE=列出方程即可求解；

解法二：過點P作PE⊥BC于E，則PE∥AC，得到△BPE∽△BAC，則，求出PE=(10-2t).，利用S△PBQ =BQ·PE=列出方程即可求解.

（1）由題意得，BQ= tcm，AP=2 cm，則BP=（10—2t）cm

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm

∵ PQ∥AC， ∴ △PBQ∽△ABC，

∴ ，即 ，

解得 t=.

（2）解法一:

如圖3，過點Q作QE⊥AB于E，則∠QEB =∠C=90°.

∵ ∠B =∠B,∴ △BQE∽△BCA，

∴ ，即 ， 解得 QE=t.

∴ S△PBQ =BP·QE=， 即·(10-2t)·t =.

整理，得t2-5t+6=0. 解這個方程，得t1=2，t2=3.

∵ 0＜t＜5，∴ 當t為2s或3s時，△PBQ的面積等于cm 2.

解法二：過點P作PE⊥BC于E，則PE∥AC（如圖4）.

∵ PE∥AC.

∴ △BPE∽△BAC，

∴ ，即 ， 解得 PE=(10-2t).

∴ S△PBQ =BQ·PE=， 即·t·(10-2t)=

整理，得t2-5t+6=0. 解這個方程，得t1=2，t2=3.

∵ 0＜t＜5，

∴ 當t為2s或3s時，△PBQ的面積等于cm 2.