Question

【題目】如圖，為⊙的直徑，點是半徑上一個動點（不與點重合），為⊙的半徑，⊙的弦與⊙相切于點，的延長線交⊙于點．

（1）設，則與之間的數量關系是什么？請說明理由．

（2）若，點關于的對稱點為，連接．

①當 時，四邊形是菱形；

②當 時，點是弦的中點．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）①；②1

【解析】

（1）由切線的性質得90°，再利用三角形內角和推導兩個角之間的關系；

（2）①由菱形得對角線互相垂直平分，構造出兩個相似的三角形，再利用對應邊成比例解方程即可；②由直徑得垂直，由中點和垂直得垂直平分線，再利用圓的性質從而證得點O與點H重合即可．

證明：（1）2α-β=90°．

理由：連接PC．

∵BD是⊙P的切線，

∴α+∠2=∠1=90°．

∴∠3+β=90°．

∵PA=PC，

∴∠A=∠2．

∵∠3是△APC的外角，

∴∠3=∠A+∠2=2∠2=2（90°-α）．

∴2（90°-α）+ β= 90°．

整理，得2α-β=90°．

（2）①；

連接PC，

⊙的弦與⊙相切于點

若四邊形是菱形

則，垂足為G，且

在△CGP和△BPC中，

，

設，則，

，即

解得

當時，四邊形是菱形；

②1．

連接CH、EH

則

即

又點是弦的中點

故CH是弦AE的垂直平分線

又圓心O在弦AE的垂直平分線上

點O與點H重合