Question

【題目】已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，直線CD與x軸交于點E．

（1）求A、B的坐標；

（2）求點E的坐標；

（3）過線段OB的中點N作x軸的垂線并交直線CD于點F，則直線NF上是否存在點M，使得點M到直線CD的距離等于點M到原點O的距離？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標(-1，0)，點B的坐標(3，0)；（2）(-3，0)；（3）存在，(，)或(，)

【解析】

（1）拋物線y=-x2+2x+3與x軸兩個交點的橫坐標即是方程-x2+2x+3=0的兩個實數根；

（2）先根據二次函數表達式算出點C與頂點D，再用待定系數法算出直線CD的解析式，最后算出點E坐標即可；

（3）存在滿足條件的點M（，m），過點M作MQ⊥CD于Q，連接OM，先證明Rt△FQM∽Rt△FNE，再利用相似的性質得到關于m的方程，解方程即可．

解：（1）由y=0得-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴點A的坐標（-1，0），點B的坐標（3，0）

（2）由y=-x2+2x+3，令x=0，得y=3，

∴C（0，3）

又∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

得D（1，4）

設直線CD的解析式為y=kx+b，得

，

解得：，

∴直線CD的解析式為y=x+3

∴E（-3，0）

（3）存在．

由（1）（2）得，E（-3，0），N（，0）

∴F（， ），EN=，

設存在滿足條件的點M（，m），作MQ⊥CD于Q，則

FM=， EF=， MQ=OM=

由題意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，

∴，

∴4m2+36m-63=0，

∴m1= ，m2=，

∴點M的坐標為M1(，)，M2（，）