Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠AND=60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD、AN．
（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）填空：
①當(dāng)AM的值為

2

時(shí)，四邊形AMDN是矩形；         
②當(dāng)AM的值為

4

時(shí)，四邊形AMDN是菱形．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)和已知條件可證得△NDE≌△MAE，即可利用四邊形AMDN的對角線互相平分證得四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）①有（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形即∠DMA=90°，所以AM=

1

2

AD=2時(shí)即可；
②當(dāng)平行四邊形AMND的鄰邊AM=DM時(shí)，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形AMD是等邊三角形即可．

解答：（1）證明：∵四邊新ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE=∠AME，
∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△NDE和△MAE中，

∠DNE=∠AME ∠DEN=∠AEM DE=AE

，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE=ME，
∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）解：①當(dāng)AM的值為2時(shí)，四邊形AMDN是矩形．
理由如下：
∵AM=2=

1

2

AD，
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°，
∴∠AMD=90°，
∴平行四邊形AMDN是矩形；

②當(dāng)AM的值為4時(shí)，四邊形AMDN是菱形．
理由如下：
∵AM=4，
∴AM=AD=4，
∴△AMD是等邊三角形，
∴AM=DM，
∴平行四邊形AMDN是菱形．
故答案為；（1）2，（2）4．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．