Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB，垂足為點N，連接AC，BC，點E在AB上，且AE＝CE．

（1）求證：∠ABC＝∠ACE；

（2）過點B作⊙O的切線交EC的延長線于點P，證明PB＝PE；

（3）在第（2）問的基礎上，設⊙O半徑為2，若點N為OC中點，點Q在⊙O上，求線段PQ的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）因為直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB，垂足為點N，所以，所以∠CAE＝∠ABC，因為AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；

（2）連接OB，設∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通過計算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE；

（3）連接OP，證明△OBC和△PBE為等邊三角形，因為⊙O半徑為2，可得BN＝3，NE＝1，即PB＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的長，即可得出PQ的最大值．

解：（1）證明：∵直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB，垂足為點N，

∴，

∴∠CAE＝∠ABC，

∵AE＝CE，

∴∠CAE＝∠ACE，

∴∠ABC＝∠ACE；

（2）如圖，連接OB，

∵過點B作⊙O的切線交EC的延長線于點P，

∴∠OBP＝90°，

設∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，

則∠PEB＝2x，

∵OB＝OC，AB⊥CD，

∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，

∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，

∴∠OBE＝90°﹣2x，

∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，

∴∠PEB＝∠PBE，

∴PB＝PE；

（3）如圖，連接OP，

∵點N為OC中點，AB⊥CD，

∴AB是CD的垂直平分線，

∴BC＝OB＝OC，

∴△OBC為等邊三角形，

∵⊙O半徑為，

∴CN＝，

∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，

∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，

∴△PBE為等邊三角形，BN＝3，NE＝1，

∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，

∴PO＝=，

∴PQ的最大值為PO+＝+．