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(1997•遼寧)如圖,PA為⊙O的切線,A為切點,連接PO并延長,與圓相交于點B、C,PA=10,PB=5,∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交于點D和E.求:
(1)⊙O的半徑;
(2)sin∠BAP的值;
(3)AD•AE的值.
分析:(1)連接AO,求出∠BAP=∠C,證△PAB∽△PCA,得出
PA
PB
=
PC
PA
,代入求出PC即可;
(2)根據△PAB∽△PCA得出
AB
AC
=
PB
PA
=
1
2
,求出
AB
BC
=
1
5
,代入sinC=sin∠BAP求出即可;
(3)連接CE,證△ACE∽△ADB,推出AD•AE=AB•AC,根據
AB
BC
=
1
5
求出AB=3
5
,AC=2AB=6
5
,代入即可求出答案.
解答:解:(1)連接AO,
∵PA為⊙O的切線,A為切點,
∴∠OAP=∠OAB+∠BAP=90°,
∵BC是⊙O直徑,
∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=90°,
∴∠CAO=∠PAB,
∵OC=OA,
∴∠C=∠OAC,
∴∠BAP=∠C,
∵∠P=∠P,
∴△PAB∽△PCA,
PA
PB
=
PC
PA

10
5
=
PC
10

∴PC=20,BC=15,
則半徑為
15
2
;         
       
(2)∵△PAB∽△PCA,
AB
AC
=
PB
PA
=
1
2

∵∠CAB=90°,
AB
BC
=
1
5

∴sinC=sin∠BAP=
5
5

(3)連接CE,
∵AE是∠BAC的角平分線,
∴∠BAD=∠CAE,
∵∠E=∠ABD,
∴△ACE∽△ADB,
AE
AB
=
AC
AD

∴AD•AE=AB•AC,
AB
BC
=
1
5
,BC=15,
∴AB=3
5
,AC=2AB=6
5

∴AD•AE=3
5
×6
5
=90.
點評:本題考查了切線的性質,相似三角形的性質和判定,等腰三角形的性質,圓周角定理等知識點的應用.
練習冊系列答案
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84°
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3
3
3
3
cm.

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(1)D是AB的中點;
(2)DE是⊙C的切線;
(3)BE•BF=2AD•ED.

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