Question

某工廠準備加工一批形狀如下圖所示的矩形窗子，其窗框用鋁合金材料做成，窗框的內部安裝透明玻璃，每個窗框的周長5米，一邊長為x米，做成的窗框的透光面積為y米²．
（1）請寫出y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）根據（1）中的函數關系式分別計算：①當x=1時，窗框的透光面積是多少？②當x為何值時，窗框的透光面積最大？最大面積是多少？
（3）現工廠準備按（2）中的兩種不同透光面積加工矩形窗子共計60個（其中透光面積最大的窗子不少于48個）．已知鋁合金每米的材料費為25元，玻璃每平方米的材料費為32元，現計劃用不多于10480元的資金購買材料來加工矩形窗子，那么共有哪幾種加工窗子的方案？

Answer 1

分析：（1）窗框的周長5米，一邊長為x米，根據矩形面積計算公式，可得出其函數關系式；
（2）①把x=1代入（1）中的關系式，可解答；②關系式y=-x2+

5

2

x=-(x-

5

4

)2+

25

16

，當x=

5

4

時，可求出窗框的最大透光面積；
（3）根據題意可列出不等式，求出m并根據m的取值范圍，可得出方案；

解答：解：（1）矩形一邊長為x米，另一邊為

5-2x

2

米，
∴y=

x(5-2x)

2

=-x2+

5

2

x，
自變量x的取值范圍為0＜x＜

5

2

；

（2）①∵y=-x2+

5

2

x，
∴當x=1時，y=-12+

5

2

×1=

3

2

，
即x=1米時，窗框的透光面積是

3

2

米²．
②∵y=-x2+

5

2

x=-(x-

5

4

)2+

25

16

，又0＜

5

4

＜

5

2

，
∴當x=

5

4

時，窗框的最大透光面積是

25

16

米²．

（3）設加工透光面積最大的矩形窗子m個，則加工透光面積較小的矩形窗子為（60-m）個，
依題意得

25

16

×32•m+

3

2

×32•（60-m）+5×25×60≤10480，
解得：m≤50，又已知m≥48，
∴48≤m≤50，
∵m為整數，
∴m=48，49，50，
∴符合上述條件的共有三種加工方案，具體如下：
方案1：加工透光面積最大的矩形窗子48個，加工透光面積較小的矩形窗子12個；
方案2：加工透光面積最大的矩形窗子49個，加工透光面積較小的矩形窗子11個；
方案3：加工透光面積最大的矩形窗子50個，加工透光面積較小的矩形窗子10個．

點評：本題考查了二次函數在實際生活中的應用，考查了學生通過所學知識解決生活中實際問題的能力，注意未知數的取值范圍必須使題目有意義，