Question

【題目】如圖,P是等邊三角形ABC內一點,將線段AP繞點A順時針旋轉60得到線段AQ,連接BQ,若PA=3,PB=4,PC=5,則四邊形APBQ的面積為_____

Answer 1

【答案】

【解析】

連結PQ，如圖，根據等邊三角形的性質得∠BAC=60°，AB=AC，再根據旋轉的性質得AP=PQ=3，∠PAQ=60°，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ=AP=3，接著證明△APC≌△ABQ得到PC=QB=5，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，再根據三角形面積公式，利用S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ進行計算．

連結PQ，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，

∴AP=PQ=3，∠PAQ=60°，

∴△APQ為等邊三角形，

∴PQ=AP=3，

∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，

∴∠CAP=∠BAQ，

在△APC和△ABQ中，

∵AC=AB，

∠CAP=∠BAQ，

AP=AQ，

∴△APC≌△ABQ（SAS），

∴PC=QB=5，

在△BPQ中，∵PB2=42=16，PQ2=32=9，BQ2=52=25，

而16+9=25，

∴PB2+PQ2=BQ2，
∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ=90°，

∴S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×3×4+×32=．

故答案為：．