Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（－2，0），連結OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉120°，得到線段OB.

（1）求點B的坐標；

（2）求經過A、O、B三點的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.

（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.

 

Answer 1

（1）B（1，）；

（2）；

（3）點C的坐標為（－1，）時，△BOC的周長最小，理由略.

（4）當時，△PAB的面積的最大值為，理由略。

解析:（1）B（1，）

（2）設拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點B（1,），得，

因此

（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=—1，當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△BOC的周長最小.

設直線AB為y=kx+b.所以，

因此直線AB為，

當x=－1時，，

因此點C的坐標為（－1，）.

（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.

當x=－時，△PAB的面積的最大值為，此時.