Question

【題目】設拋物線與x軸的交點分別為A、B（點A在點B的左側），頂點為C．若a、b、c滿足，則稱該拋物線為“正定拋物線”；若a、b、c滿足，則稱該拋物線為“負定拋物線”．特別地，若某拋物線既是“正定拋物線”又是“負定拋物線”，則稱該拋物線為“對稱拋物線”．

（1）“正定拋物線”必經過x軸上的定點___________；“負定拋物線”必經過x軸上的定點___________．

（2）若拋物線是“對稱拋物線”，且△ABC是等邊三角形，求此拋物線對應的函數表達式．

（3）若拋物線是“正定拋物線”，設此拋物線交y軸于點D，△BCD的面積為S，求S與b之間的函數關系式．

（4）設“正定拋物線”(b>0)與x軸的交點分別為、（在的左側），頂點為M；“負定拋物線”(b>0)與x軸的交點分別為、（在的左側），頂點為N．在兩條拋物線所對應的函數表達式中，當同時滿足y隨x的增大而增大時的所有x的值在x軸上所對應的點恰好是線段 （包括端點）時，直接寫出此時以M、N、、為頂點的四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），（-1，0）；（2）；（3）當時，；當時，；當時，；（4）8．

【解析】（1）“正定拋物線”a、b、c滿足，即當x=1時，y=a+b+c=0,過點（1,0）；“負定拋物線”a、b、c滿足，即當x=-1時，y=a-b+c=0,過點（-1,0）；

（2）根據“對稱拋物線”的定義，可知拋物線經過（1,0）、（-1,0），根據△ABC是等邊三角形，得出c=或c=-，從而可求出拋物線對應的解析式；

（3）拋物線是“正定拋物線”， 拋物線經過（1,0），代入得1+b+c=0，即c=-b-1，表示出C（，），D（0，-b-1），然后分三種情況寫出S即可；

（4）根據滿足y隨x的增大而增大時的所有x的值在x軸上所對應的點恰好是線段 （包括端點）可知，“正定拋物線”(b>0)的對稱軸是x=-1，“負定拋物線”(b>0) 的對稱軸是x=1，結合“正定拋物線”與“負定拋物線”的定義求解即可.

（1）“正定拋物線”a、b、c滿足，即當x=1時，y=a+b+c=0,過點（1,0）；“負定拋物線”a、b、c滿足，即當x=-1時，y=a-b+c=0,過點（-1,0）；

（2）∵拋物線是“對稱拋物線”，

∴拋物線經過點（1，0）、（-1，0）．

∴ 解得

∵△ABC是等邊三角形，

∴．

∴或．

當時，．

此拋物線對應的函數表達式為．

當時，．

此拋物線對應的函數表達式為．

（3）∵拋物線是“正定拋物線”，

∴．

∴．

∴．

∵點C為拋物線的頂點，點D為拋物線和y軸的交點，

∴，．

當時．

．

當時．

．

當時．/p>

（4）由題意得，“正定拋物線”(b>0)的對稱軸是x=-1，“負定拋物線”(b>0) 的對稱軸是x=1，

∵，

∴b=2.

∵是“正定拋物線”，

∴1+b+m=0,

∴m=-b-1=-3,

∴M的橫坐標是，

∴A2M=4.

同理可求B1N=4，

∴A2M=B1N，

∴四邊形A2MB1N是平行四邊形，

∴S四邊形A2MB1N=2×4=8．