Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=，點P在線段AB上運動，點Q、R分別在線段BC，AC上，且使得四邊形APQR是矩形．設AP的長是x，矩形APQR面積為y，已知y是x的函數，其圖象是過點（12，36）的拋物線上的一部分．
（1）求AB的長；
（2）當AP為何值時，矩形APQR的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵tanB=，
∴=，
∵矩形APQR中AB∥QR，
∴∠RQC=∠B，
∴tan∠RQC=tanB=，
∴=，
則RC=x，AR=AC-x，
則y=x（AC-），把（12，36）代入得：12（AC-×12）=36，
解得：AC=12，
則AB=16；

（2）函數的解析式是：y=-x²+12x，
則當x==8時，函數值最大，最大值是：-×8²+12×8=48．
分析：（1）首先根據三角函數的定義利用x以及AC的長表示出y與x的函數關系，然后把（12，36）代入解析式即可求得AC的長，然后利用三角函數即可求得AB的長；
（2）利用二次函數的性質即可求解．
點評：本題考查了三角函數的定義，以及待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數的性質，正確表示出y與x的函數解析式是關鍵．