Question

（2008•吉林）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=45°，AB=BC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）設陰影部分的面積分別為，a，b，⊙O的面積為S，請直接寫出S與a，b的關系式．
（答案不唯一）

Answer 1

【答案】分析：（1）AB是⊙O的直徑，那么求得∠ABC為90°即可；
（2）設AC圓交于點D，連接BD，因為AD=BD，那么a可轉移到弧BD與弦BD圍成的面積，即△BCD的面積=a+b，易得△ADB的面積=△BCD的面積，那么半圓的面積=2a+a+b=3a+b，從而得到三者的關系．
解答：（1）證明：∵AB=BC，
∴∠CAB=∠ACB=45°．（1分）
∵在△ABC中，∠ABC=180°-45°-45°=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
又∵AB是⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線．（1分）

（2）解：設AC圓交于點D，連接BD，
∵AD=BD，∴△BCD的面積=a+b，
∵△ADB的面積=△BCD的面積，
∴半圓的面積=2a+a+b=3a+b，
∴S=6a+2b．（2分）
點評：過圓心且與半徑垂直的直線是圓的切線；求陰影部分面積，轉移也是常用的方法．