Question

如圖，已知點A（0，2），直線l：y=-x-2與x軸交于D點，與y軸交于E點，B是直線l上的一個動點，以AB為直徑的圓記作⊙M．
（1）判斷點D是否在⊙M上，并說明理由；
（2）當⊙M與x軸相切時，求B點的坐標；
（3）若△ABE為等腰三角形，求出所有符合條件的圓心M的坐標．

Answer 1

分析：（1）點D在圓M上，理由為：連接AB，AD，DM，如圖1所示，對于直線l，求出D與E坐標，確定出OD=OE=2，由OA=2，利用勾股定理得到AD=DE，根據三角形AOD與三角形DOE都為等腰直角三角形，可得出AD垂直于DE，在直角三角形ABD中，由斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DM為直徑AB的一半，即D到圓心距離等于半徑，可得出D在圓M上；
（2）連接MD，AD，由∠ADB為直角，利用90度圓周角所對的弦為直徑得到D在圓M上，由圓M與x軸相切，得到D為切點，進而得到BA垂直于y軸，即可確定出此時B的坐標；
（3）由B在直線y=-x-2上，設B（a，-a-2），分三種情況考慮：①A為頂點時，AB=AE，由AE長求出AB的長，確定出B的坐標，由A與B的坐標，利用線段中點坐標公式求出M坐標即可；②B為頂點時，BA=BE，此時B與D重合，求出B的坐標，利用線段中點坐標公式即可求出此時M的坐標；③E為頂點時，AE=BE，由A、B、E坐標，利用兩點間的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出B坐標，利用線段中點坐標公式即可確定出M的坐標．

解答：
解：（1）點D在圓M上，理由為：連接AB，AD，DM，如圖1所示，
對于直線l：y=-x-2，令x=0，求出y=-2；令y=0，求出x=-2，
∴D（-2，0），E（0，-2），又A（0，2），
∴OD=OE=OA=2，
根據勾股定理得：AD=ED=2

2

，AE=AO+OE=4，
∵AD²+DE²=AE²，△AOD與△DOE都為等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠ADO+∠EDO=90°，
∴在Rt△ABD中，DM=

1

2

AB，
則D在圓M上；
（2）連接MD，AD，由直線y=-x-2，可得OD=OE=2，又OA=2，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵AB為圓O的直徑，
∴點D在圓M上，
∵圓M與x軸相切，
∴D為切點，
∴MD⊥x軸，即∠MDA+∠ADO=90°，
∵∠ADO=45°，
∴∠MDA=45°，
∵MA=MD，
∴∠MAD=∠MDA=45°，
∴∠DAE=45°，
∴∠MAD+∠DAO=90°，
∴BA⊥y軸，
∴AB=2OD=4，
則B（-4，2）；
（3）設B坐標為（a，-a-2），
分三種情況考慮：
①當A為頂點時，AB=AE，B坐標為（-4，2），此時M坐標為（-2，2）；
②當B為頂點時，BA=BE，B與D重合，B坐標為（-2，0），此時M坐標為（-1，1）；
③當E為頂點時，BE=AE，可得BE²=AE²，即a²+（-a-2+2）²=4²，解得：a₁=-2

2

，a₂=2

2

，
∴B坐標為（-2

2

，2

2

-2）或B（2

2

，-2

2

-2），此時M（-

2

，

2

）或M（

2

，-

2

）．

點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，等腰直角三角形的判定與性質，切線的性質，圓周角定理，兩點間的距離公式，線段中點坐標公式，勾股定理及逆定理，一次函數與坐標軸的交點，利用了分類討論的思想，分類討論時要注意不重不漏，考慮問題要全面．