Question

如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C（1，a）是直線與雙曲線y=

m

x

的一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，且△BCD的面積為1．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）若在y軸上有一點(diǎn)E，使得以E、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直線y=kx+2與y軸交于B點(diǎn)，則OB=2；由C（1，a）及△BCD的面積為1可得BD=2，所以a=4，即C（1，4），分別代入兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式中求解析式；
（2）根據(jù)△BAE∽△BCD、△BEA∽△BCD兩種情形求解．

解答：解：（1）∵CD=1，△BCD的面積為1，
∴BD=2
∵直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2）．
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（O，4），
∴a=4．
∴C（1，4）
∴所求的雙曲線解析式為y=

4

x

．

（2）因?yàn)橹本�y=kx+2過C點(diǎn)，
所以有4=k+2，k=2，
直線解析式為y=2x+2．
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），B（0，2），
∴AB=

5

，BC=

5

，
當(dāng)△BAE∽△BCD時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，點(diǎn)E坐標(biāo)為（O，0）；
當(dāng)△BEA∽△BCD時(shí)，

AB

DB

=

BE

BC

，
∴

5

2

=

BE

5

，
∴BE=

5

2

，
∴OE=

1

2

，
此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-

1

2

）．
綜上：當(dāng)E為（0.0）或（0．-

1

2

）時(shí)△EAB與△BCD相似．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是求交點(diǎn)C的坐標(biāo)以及相似形中的分類討論思想，搞清楚對應(yīng)關(guān)系．