Question

如圖，四邊形OABE中，∠AOE=∠BEO=90°，OA=3，OE═4，BE=1，點C，D是邊OE（與端點O、E不重合）上的兩個動點且CD=1．
（1）求邊AB的長；
（2）當△AOD與△BCE相似時，求OD的長；
（3）連接AC與BD相交于點P，設OD=x，△PDC的面積記為y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）作BF⊥AO，構造矩形OEBF和直角三角形AFB，利用勾股定理求出AB的長；
（2）分兩種情況討論：①當=時，△AOD∽△BEC；②當=時，△AOD∽△CEB；然后根據相似三角形的性質解答；
（3）作PH⊥OE于H．可得△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，然后根據相似三角形的性質，求出函數解析式．
解答：解：（1）作BF⊥AO，則四邊形OEBF為矩形，
∵BF=OE=4，AF=AO-BE=3-1=2；
∴在Rt△AFB中，AB===2．

（2）設OD=a，則CE=4-a-1=3-a，
∵∠AOD=∠BEC=90°，
①當=時，△AOD∽△BEC，
∴=，
∴a=；
②當=時，△AOD∽△CEB，
∴=，
∴a²-3a+3=0，此方程無實數根，
綜上所述，OD=．

（3）作PH⊥OE于H．
可得，△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，
∴=，=，CH=PH（x+1），
∵=，
∴=，
∴DH=PH（4-x），
∴CD=CH+DH=PH（x+1）+PH（4-x）=1，
∴PH=．
∴y=CD•PH=×1×=（0＜x＜3）．
點評：本題考查了相似形綜合題，涉及勾股定理、矩形的判定和性質、相似三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．