Question

如圖，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過D點的直線與AB的延長線交于點C．
（1）若∠A=25°，∠C=40°，求證：CD是⊙O的切線；
（2）當∠A與∠C滿足什么關系時，直線CD與⊙O相切．請直接寫出你得到的結論；
（3）若CD是⊙O的切線，且AB=14，BC：DC=3：4，求OC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據三角形外角性質求出∠AOC，根據三角形內角和定理求出∠OAC即可；
（2）根據2∠A+∠C=90°求出∠C=30°，根據三角形的內角和定理求出∠OAC的度數即可；
（3）設AC=4x，FC=3x，由切割線定理得到（4x）²=3x（3x+14），求出方程的解即可．
解答：解：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠B=∠ADO=25°，
∴∠DOC=25°+25°=50°，
∴∠ODC=180°-∠C-∠DOC=90°，
∴CD是⊙O的切線．

（2）當2∠A+∠C=90°時，直線CD與⊙O相切．

（3）設DC=4x，BC=3x，
由切割線定理得：（4x）²=3x（3x+14），
∴x=6，
∴OC=3x+7=25，
答：OC的長是25．
點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，切線的性質和判定，解一元二次方程等知識點的連接和掌握，熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．