Question

如圖，在正方形ABCD中，已知CE⊥DF于H．
（1）求證：△BCE≌△CDF；
（2）若AB=6，BE=2，求HF的長．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質可得BC=CD，∠B=∠BCD=90°，利用直角三角形中兩個銳角互余以及垂直的定義證明∠BEC=∠CFD即可證明：△BCE≌△CDF；
（2）由（1）可知：△BCE≌△CDF，所以CF=BE=2，由相似三角形的判定方法可知：△BCE∽HCF，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求出HF的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∵CE⊥DF于H，
∴∠BCE+∠CFH=90°，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠CFD，
在△BCE和△CDF中

∠B=∠BCD ∠BEC=∠CFD BC=CD

，
∴△BCE≌△CDF（AAS）；

（2）解：∵△BCE≌△CDF，
∴CF=BE=2，
∵∠B=∠CHF=90°，∠BCE=∠HCF，
∴△BCE∽△HCF，
∴

BE

HF

=

CE

CF

，
∴HF=

BC•CF

CE

=

10

5

．

點評：本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質以及全等三角形的判定和性質，題目的綜合性很強，但難度不大．