Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），以下四個結論：①△PFA≌△PEB；②∠PFE=45°；③EF=AP；④圖中陰影部分的面積是△ABC的面積的一半；始終正確的有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由等腰直角三角形的性質，及角相互間的和差關系易得△PFA≌△PEB，依此得出∠PFE=45°，陰影部分的面積是△ABC的面積的一半．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點；
∴∠APB=90°，AP=CP=BP，∠B=∠C=∠CAP=45°；
∵∠FPE=90°；
∴∠FPA=∠BPE；
在△PFA與△PEB中，

∠B=∠FAP AP=BP ∠FPA=∠BPE

，
∴△PFA≌△PEB（ASA）．故①正確；
∴PE=PF；
∴∠PFE=45°．故②正確；
∴EF=

2

PE．
又AP=BP=

2

PE，
∴EF=AP．故③正確；
陰影部分的面積=△APC的面積=△ABC的面積的一半．故④正確；
綜上所述，正確的結論有4個．
故選D．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質，同時考查了全等三角形的判斷和性質．