Question

如圖，直角梯形BCDF中，∠BCD=90°，BC∥FD，CA⊥BD于A，點E在FD上，且BF=BE，∠BEA=∠ACD，下列結論：
①∠ACD=∠CBD；②∠FBC+∠CBE=180°；③DE+DF=2BC；④BC=BE．
其中正確的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據∠ACD+∠BCA=90°和∠CBD+∠BCA=90°即可推出∠ACD=∠CBD；根據∠FBC+∠F=180°和∠F=∠BEF=∠CBE推出即可；過B作BH⊥DF于H，求出BC=DH，根據等腰三角形性質求出FH=HE，即可得出DE+DF=2BC；證△BAC∽△BCD和△BEA∽△BDE，得出比例式，即可得出BC²=BE²=BA×BD，即可得出BC=BE．

解答：解：∵∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠BCA=90°，
∵CA⊥BD，
∴∠BAC=90°，
∴∠CBD+∠BCA=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
∴①正確；
∵BC∥FD，
∴∠CBE=∠BEF，∠F+∠FBC=180°，
∵BF=BE，
∴∠F=∠BEF，
∴∠FBC+∠CBE=180°，
∴②正確；
過點B作BH⊥EF于點H，
∵BF=BE，
∴EH=FH，
∵直角梯形BCDF中，∠BCD=90°，BC∥FD，
∴四邊形BCDH是矩形，
∴BC=DH=EH+DE，
∴DE+DF=DH+FH+DE=DH+DH=BC+BC=2BC，
∴③正確；
∵∠BCD=90°，CA⊥BD，
∴∠CAB=∠CAD=∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，∠DCA+∠CDB=90°，
∴∠DCA=∠CBD，
∵BC∥DF，
∴∠CBD=∠BDE，
∵∠AEB=∠DCA，
∴∠BDE=∠BEA，
∵∠EBA=∠DBA，
∴△BEA∽△BDE，
∴

BA

BE

=

BE

BD

，
∴BE²BA×BD，
∵∠CBA=∠CBD，∠CAB=∠DCB，
∴△BAC∽△BCD，
∴

BC

BD

=

BA

BC

，
∴BC²=BA×BD，
∴BE²=BC²，
∴BE=BC，∴④正確；
故選D．

點評：此題考查了梯形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理以及三角函數的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．