Question

如圖，圓O經過平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、D，且圓心O在平行四邊形ABCD的外部，tan∠DAB=

1

2

，D為弧AB的中點，⊙O的半徑為5，求平行四邊形的面積．

Answer 1

分析：連接OD，交AB于點E，連接OA，由D為弧AB的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OD垂直于AB，E為AB的中點，在直角三角形ADE中，由tan∠DAB的值，得到AE=2DE，設DE=x，則有AE=2x，由半徑為5，得到OA=OD=5，由OD-DE表示出OE，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與DE的長，利用平行四邊形的面積公式即可求出面積．

解答：解：連接OD，交AB于點E，連接OA，如圖所示，
∵D為

AB

的中點，
∴OD⊥AB，
∴E為AB的中點，即AE=BE，
在Rt△ADE中，tan∠DAB=

DE

AE

=

1

2

，
設DE=x，OA=OD=5，
則AE=2x，OE=OD-DE=5-x，
在Rt△AOE中，
根據勾股定理得：OA²=AE²+OE²，即25=4x²+（5-x）²，
解得：x=0（舍去）或x=2，
∴AE=4，DE=2，
∴AB=2AE=8，
則S_{平行四邊形ABCD}=AB•DE=8×2=16．

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數定義，以及平行四邊形的性質，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．