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如圖,E是矩形ABCD邊BC的中點,P是AD邊上一動點,PF⊥AE,PH⊥DE,垂足分別為F,H.
(1)當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時,四邊形PHEF是矩形?請予以證明;
(2)在(1)中,動點P運動到什么位置時,矩形PHEF變為正方形?為什么?

【答案】分析:(1)當四邊形PFEH是矩形時,∠FEH=90°;易證得△ABE≌△DCE,則∠AEB=∠DEC=45°;那么△ABE、△DCE是等腰直角三角形,此時AB=BE=EC=CD,故矩形ABCD滿足長是寬的2倍時,四邊形PFEH是矩形;
(2)若矩形PHEF是正方形,則PF=PH,此時可證得△PAF≌△PDH,則AP=PD,所以當P為AD中點時,矩形PHEF變為正方形.
解答:解:(1)AD=2AB.
證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD;
∵E是BC的中點,
∴AB=BE=EC=CD;
則△ABE、△DCE是等腰Rt△;
∴∠AEB=∠DEC=45°;
∴∠AED=90°;
四邊形PFEH中,∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°,故四邊形PFEH是矩形;

(2)點P是AD的中點時,矩形PHEF變為正方形;理由如下:
由(1)可得∠BAE=∠CDE=45°;
∴∠FAP=∠HDP=45°;
又∵∠AFP=∠PHD=90°,AP=PD,
∴Rt△AFP≌Rt△DHP;
∴PF=PH;
在矩形PFEH中,PF=PH,故PFEH是正方形.
點評:此題主要考查了矩形、等腰直角三角形、全等三角形的判定和性質,以及正方形的判定.熟練掌握各特殊平行四邊形的判定和性質是解答此題的關鍵.
練習冊系列答案
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證明思路:
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