Question

【題目】已知開口向下的拋物線y=ax2-2ax+2與y軸的交點為A，頂點為B，對稱軸與x軸的交點為C，點A與點D關于對稱軸對稱，直線BD與x軸交于點M，直線AB與直線OD交于點N．

(1)求點D的坐標.

(2)求點M的坐標(用含a的代數式表示).

(3)當點N在第一象限，且∠OMB=∠ONA時，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）D（2,2）；（2）；（3）

【解析】

(1)令x=0求出A的坐標，根據頂點坐標公式或配方法求出頂點B的坐標、對稱軸直線，根據點A與點D關于對稱軸對稱，確定D點坐標.

(2)根據點B、D的坐標用待定系數法求出直線BD的解析式，令y=0，即可求得M點的坐標.

（3）根據點A、B的坐標用待定系數法求出直線AB的解析式，求直線OD的解析式，進而求出交點N的坐標，得到ON的長.過A點作AE⊥OD，可證△AOE為等腰直角三角形，根據OA=2，可求得AE、OE的長，表示出EN的長.根據tan∠OMB=tan∠ONA，得到比例式，代入數值即可求得a的值.

（1）當x=0時，，

∴A點的坐標為（0,2）

∵

∴頂點B的坐標為：（1,2-a），對稱軸為x= 1，

∵點A與點D關于對稱軸對稱

∴D點的坐標為：（2，2）

（2）設直線BD的解析式為：y=kx+b

把B（1,2-a）D（2，2）代入得：

，解得：

∴直線BD的解析式為：y=ax+2-2a

當y=0時，ax+2-2a=0，解得：x=

∴M點的坐標為：

（3）由D(2，2)可得：直線OD解析式為：y=x

設直線AB的解析式為y=mx+n,代入A(0，2)B（1,2-a）可得：

解得：

∴直線AB的解析式為y= -ax+2

聯立成方程組： ，解得：

∴N點的坐標為：（）

ON=（）

過A點作AE⊥OD于E點，則△AOE為等腰直角三角形.

∵OA=2

∴OE=AE=，EN=ON-OE=（）-=)

∵M，C(1,0)， B（1,2-a）

∴MC=，BE=2-a

∵∠OMB=∠ONA

∴tan∠OMB=tan∠ONA

∴，即

解得：a=或

∵拋物線開口向下，故a<0，

∴ a=舍去，