Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中直線：分別與x軸，y軸交于點A和點B，過點A的直線與y軸交于點C，．

（1）求直線的解析式；

（2）若D為線段上一點，E為線段上一點，當時，求的最小值，并求出此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值為3，點E的坐標為（0，4）．

【解析】

（1）在中，求當y=0時，x的值，確定A點坐標，由OC=6確定C點坐標，然后用待定系數法解函數解析式；

（2）過點B作BF⊥AC，結合一次函數與坐標軸交點坐標，利用銳角三角函數求得∠BAO=30°，∠CAO=60°，∠ACO=30°，BF=，然后根據題目中三角形面積關系求得AD的長，在y軸右側作∠NCO=30°，過點D作DM⊥NC，交y軸于點E，此時最短，根據含30°直角三角形性質求得DM，CM的長，從而使問題得解．

解：（1）在中，求當y=0時，

解得：

∴A（，0）

又∵OC=6

∴C（0，6）

設直線AC的解析式為，將A（，0），C（0，6）代入得

，解得

∴直線AC的解析式為；

（2）過點B作BF⊥AC，

在中，x=0時，y=2

∴B（0，2）

在Rt△AOB中，，

在Rt△AOC中，，

∴∠BAO=30°，∠CAO=60°，∠ACO=30°

∴BF=，DF=2

∵

∴

∴，解得AD==BF

∴此時點D與點F重合，即BD⊥AC

∴CD=AC-AD=，

在y軸右側作∠NCO=30°，過點D作DM⊥NC，交y軸于點E

此時EM=，

∴此時最短

又∵DM⊥NC，∠ACO=∠NCO=30°，

∴在Rt△CDM中，∠CDM=30°

∴CM=，DM=

又∵在Rt△CEM中，∠ECM=30°

∴，CE=2EM=2

∴OE=OC-CE=4

∴的最小值為3，點E的坐標為（0，4）．