Question

20、如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過A、E兩點(diǎn)，交AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，求∠EFG的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）連接OE，證OE⊥BC即可．因?yàn)锳D⊥BC，所以轉(zhuǎn)證OE∥AD．由AE平分∠BAD，OA=OE易得此結(jié)論．
（2）∠EFG=∠GAE=∠EAO=∠AEO．根據(jù)已知條件易得∠B=30°，∠EOB=60°．從而求解．

解答：證明：（1）連接OE．
∵AB=AC且D是BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
則∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切線．

（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠EOB=60°且AE平分∠BAD，
∴∠EAO=∠EAG=30°
又∵∠EFG與∠DAE都對(duì)應(yīng)弧GE
∴∠EFG=∠EAO（同弧所對(duì)的圓周角相等）
∴∠EFG=30°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．