Question

如圖1，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連結EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F.

(1)求證：OE＝OF；
(2)如圖2，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給出
證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

見解析

(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°.OB＝OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE
∴∠MEA＝∠AFO，
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF
∴OE＝OF
(2)OE＝OF成立
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°.OB＝OA.
又∵AM⊥BE，
∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE
又∵∠MBF＝∠OBE
∴∠F＝∠E.
∴Rt△BOE≌Rt△AOF.
∴OE＝OF.