Question

小平所在的學習小組發現，車輛轉彎時，能否順利通過直角彎道的標準是，車輛是否可以行駛到和路的邊界夾角是45°的位置（如圖1中②的位置）．例如，圖2是某巷子的俯視圖，巷子路面寬4 m，轉彎處為直角，車輛的車身為矩形ABCD，CD與DE、CE的夾角都是45°時，連接EF，交CD于點G，若GF的長度至少能達到車身寬度，即車輛能通過．

（1）小平認為長8m，寬3m的消防車不能通過該直角轉彎，請你幫他說明理由；

（2）小平提出將拐彎處改為圓弧（和是以O為圓心，分別以OM和ON為半徑的弧），長8m，寬3m的消防車就可以通過該彎道了，具體的方案如圖3，其中OM⊥OM′，你能幫小平算出，ON至少為多少時，這種消防車可以通過該巷子，？

        

Answer 1

解：（1）作FH⊥EC，垂足為H，

∵FH＝EH＝4，

∴EF＝4．且∠GEC＝45°，

∵GC＝4，

∴GE＝GC＝4．

∴GF＝4－4＜3，即GF的長度未達到車身寬度，

∴消防車不能通過該直角轉彎．                 （5分）

（2）若C、D分別與M′、M重合，則△OGM為等腰直角三角形.

∴OG＝4，OM＝4,

∴OF＝ON＝OM－MN＝4－4.

∴FG＝8－4＜3．∴C、D在上．

（以上未說明不扣分）                                           

設ON＝ x ，連接OC．在Rt△OCG中，

OG＝x＋3，OC＝x＋4，CG＝4，由勾股定理得

OG²＋CG²＝OC²，即（x＋3）²＋4²＝（x＋4）²．

解得  x＝4.5  

答：ON至少為4.5米…………………………10分