Question

小平所在的學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，車輛轉(zhuǎn)彎時，能否順利通過直角彎道的標(biāo)準(zhǔn)是，車輛是否可以行駛到和路的邊界夾角是45°的位置（如圖1中=2\×GB3 ②的位置）．例如，圖2是某巷子的俯視圖，巷子路面寬4m，轉(zhuǎn)彎處為直角，車輛的車身為矩形ABCD，CD與DE、CE的夾角都是45°時，連接EF，交CD于點G，若GF的長度至少能達(dá)到車身寬度，即車輛能通過．
（1）小平認(rèn)為長8m，寬3m的消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎，請你幫他說明理由；
（2）小平提出將拐彎處改為圓弧（

MM′

和

NN′

是以O(shè)為圓心，分別以O(shè)M和ON為半徑的弧），長8m，寬3m的消防車就可以通過該彎道了，具體的方案如圖3，其中OM⊥OM′，你能幫小平算出，ON至少為多少時，這種消防車可以通過該巷子？

Answer 1

分析：（1）過點F作FH⊥EC于點H，根據(jù)道路的寬度求出FH=EH=4m，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF、GE的長度，相減即可得到GF的長度，如果不小于車身寬度，則消防車能通過，否則，不能通過；
（2）假設(shè)車身C、D分別與點M′、M重合，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OG=

1

2

CD=4，OC=

2

CG=4

2

，然后求出OF的長度，從而求出可以通過的車寬FG的長度，如果不小于車寬，則消防車能夠通過，否則，不能通過；設(shè)ON=x，表示出OC=x+4，OG=x+3，又OG=

1

2

CD=4，在Rt△OCG中，利用勾股定理列式進行計算即可求出ON的最小值．

解答：解：（1）消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎．
理由如下：如圖，作FH⊥EC，垂足為H，
∵FH=EH=4，
∴EF=4

2

，且∠GEC=45°，
∵GC=4，
∴GE=GC=4，
∴GF=4

2

-4＜3，
即GF的長度未達(dá)到車身寬度，
∴消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎；

（2）若C、D分別與M′、M重合，則△OGM為等腰直角三角形，
∴OG=4，OM=4

2

，
∴OF=ON=OM-MN=4

2

-4，
∴FG=OG-OF=

1

2

×8-（4

2

-4）=8-4

2

＜3，
∴C、D在

MM′

上，
設(shè)ON=x，連接OC，在Rt△OCG中，
OG=x+3，OC=x+4，CG=4，
由勾股定理得，OG²+CG²=OC²，
即（x+3）²+4²=（x+4）²，
解得x=4.5．
答：ON至少為4.5米．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，讀懂題目信息，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并構(gòu)造出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．