Question

（2013•本溪三模）如圖，方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形．
①求sin∠ABC．
②將△ABC繞點C逆時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的三角形，并求出旋轉過程中線段AB掃過的面積．

Answer 1

分析：①利用勾股定理求出AB、AC、BC的長，然后利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；
②根據網格結構找出點A、B旋轉后的對應點A′、B′的位置，然后與點C順次連接即可，再根據線段AB掃過的面積等于以BC、AC為半徑的兩個扇形的面積的差列式計算即可得解．

解答：解：①由勾股定理得，AB=

12+12

=

2

，
AC=

22+22

=2

2

，
BC=

12+32

=

10

，
∵AB²+AC²=

2

²+（2

2

）²=2+8=10=BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠ABC=

AC

BC

=

2 2

10

=

2 5

5

；

②線段AB掃過的面積=

90•π• 10 2

360

-

90•π•(2 2 )2

360

=

π

2

．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，勾股定理的應用，扇形面積的計算，勾股定理逆定理的應用，②理解線段AB掃過的面積的表示方法是解題的關鍵．